Group action on sets

Definition

设 \(G\) 是一个群,\(X\) 是一个集合，\(G\) 在 \(X\) 上的（左）作用是一个映射：\(G \times X \rightarrow X\)， \((g,x) \mapsto g\cdot x\)， 使得

(1) \(e\cdot x=x,\forall x \in X\).

(2) \(g\cdot(h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x,\forall g,h \in G,x \in X\).

Remark

\(\varphi_g:X \rightarrow X:x \mapsto g\cdot x\). 则 \(\varphi_e=id_X\)，\(\varphi\) 是一个有逆 \(\varphi_{g^{-1}}\) 的双射.

Note

\(\varphi_g \varphi_h(x)=g\cdot(h\cdot x)=(gh)\cdot x=\varphi_{gh}(x)\).从而 \(\varphi_g\varphi_h=\varphi_{gh},\varphi_g\varphi_{g^{-1}}=\varphi_{g^{-1}}\varphi_{g}=\varphi_e=id_X\)，这表明 \(\varphi_g\) 是 \(X\) 上的双射.

Proposition

设 \(G\) 有在 \(X\) 上的作用，则有群同态 \(G \rightarrow S_X:\) \(g\mapsto \varphi_g\).

Proof

即证：\(\varphi_g \varphi_h=\varphi_{gh}\). 代入验证即可：对于 \(\forall x \in X\)，\(\varphi_g(\varphi_h(x))=\varphi_g(h\cdot x)=g\cdot(h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x=\varphi_{gh}(x)\)，从而 \(\varphi_g \varphi_h=\varphi_{gh}\).

Example

几种 \(G\) 在 \(G\) 上的作用

左平移：\(l_g:x \mapsto gx,x \in G\).

右平移：\(r_g:x \mapsto xg^{-1},x \in G\).

Note: \(l_g r_{g'}=r_{g'} l_g\).

共轭作用(conjugation action)：\(Ad_g:x\mapsto gxg^{-1}\).

Fact:\(Ad_g=l_g r_g\).

Definition

一个从群 \(G\) 到 \(G\) 的同构 \(\varphi\) 称为群 \(G\) 的自同构(outomorphism).\(Aut(G):=\{isomorphism\space\varphi:G\rightarrow G\}\) 称为 \(G\) 的自同构群(automorphism group of \(G\)).

Definition

群 \(G\) 在 \(X\) 上的右作用是一个映射 \(X\times G \rightarrow X\),\((x,g)\mapsto x\cdot g\)，满足 \(x\cdot e=x,(x\cdot g)\cdot h=x\cdot(g\cdot h)\).

Proposition

\(Ad_g\) 是群 \(G\) 的自同构.从而 \(Ad:G\rightarrow Aug(G)<S_G\).

Definition

设群 \(G\) 在集合 \(X\) 上的作用给出一个同态 \(\phi:G\rightarrow S_X,g \mapsto \phi_g\). (1)我们称这个作用是忠实的(faithful)，如果 \(\phi\) 是单的. (等价地，\(\phi_g\) 固定每一个 \(x \implies g=e\).)

(2)我们称这个作用是平凡的(trival)，如果 \(\phi\) 是平凡的，\(i.e. \phi_g=id_x,\forall g\in G\).

Theorem

Cayley Theorem (1) 每个群都同构于一个循环群的子群.

(2)若群 \(G\) 的阶 \(n<\infty\)，则 \(G\) 同构于 \(S_n\) 的一个子群.

Proof

考虑 \(G\) 上的左平移，它给出一个从 \(G\rightarrow S_G\) 的单射.从而 \(G\) 同构于 \(S_G\) 的子群.

Definition

设 \(G\) 作用在 \(X\) 上，对于 \(x\in X\)，我们定义： (1) \(Stab_G(x)=\{g\in G:gx=x\} \subset G\) 称为 \(x\) 的稳定子群(stabilizer subgroup).

(2) \(Orb_G(x)=G\cdot x=\{gx:g\in G\}\subset X\) 称为 \(x\) 的轨道(orbit).

Proposition

(1) \(Stab_G(x)<G\).

(2) 若 \(G\cdot x \cap G\cdot y \neq \emptyset\)，则 \(G\cdot x=G \cdot y\).

(3) 若 \(y=g\cdot x\)，（即 \(x,y \in Orbit O\)），则 \(Stab_G(y)=gStab_G(x)g^{-1}\).

Proof

(1) 设 \(g,h\in Stab_G(x)\)，我们证明 \(gh^{-1}\in Stab_G(x)\). 事实上，由 \(hx=x\) 可知 \(h^{-1}x=h^{-1}(h\cdot x)=(h^{-1}h)\cdot x=x\)，从而 \((gh^{-1})\cdot x=g\cdot(h^{-1}x)=g\cdot(x)=x,gh^{-1}\in Stab_G(x)\). (2)假设 \(z=gx=hy,g,h\in G\)，则对于 \(\forall k\in G,kx=k(g^{-1}h\cdot y)=(kg^{-1}h)\cdot y\in G\cdot y\).从而 \(G\cdot x \subset G\cdot y\).同理有 \(G\cdot y\subset G\cdot x\).故 \(G\cdot x=G\cdot y\). (3) \(h\in Stab_G(x) \iff h\cdot x=x \iff ghg^{-1}\cdot gx=gx\iff ghg^{-1}\cdot y=y\iff ghg^{-1} \in Stab_G(y)\).

Example

考虑群 \(G\) 在 \(G\) 上的共轭作用，对于 \(x \in G,G\cdot x=\{gxg^{-1}:g\in G\}\) 称为 \(x\) 的共轭类.\(Stab_G(x)=\{g\in G,gxg^{-1}=x\}=\{g\in G:gx=xg\}:=C_G(x)(or\space G_x)\) 称为 \(x\) 的中心化子(centralizer).

Note

群 \(G\) 是一系列共轭类的不交并.

Example

(1) 若 \(G\) 是阿贝尔群，则 \(x\) 的共轭类为 \(\{x\}\).

(2) \(GL_n(\mathbb{C})\) 的共轭类与可逆的Jordan标准型一一对应.

(3) \(S_n\) 的共轭类和 \(n\) 的划分一一对应.下面给出证明.

Proof

对于 \(\sigma \in S_n\)，我们可以写出 \(\sigma=(\sigma_{1,1}\sigma_{1,2}\ldots\sigma_{1,r_1})\cdots(\sigma_{t,1}\sigma_{t,2}\ldots\sigma_{t,r_t})\). 每个\(cycle\)的长度对应一个正整数，则这样的 \(\sigma\) 恰好对应 \(n\) 的一种划分. 对于 \(\forall \tau \in S_n\)，考虑 \(\tau \sigma \tau^{-1}\)，容易证明：\(\tau (\sigma_{1,1}\sigma_{1,2}\ldots\sigma_{1,r_1})\cdots(\sigma_{t,1}\sigma_{t,2}\ldots\sigma_{t,r_t})\tau^{-1}=(\tau(\sigma_{1,1})\tau(\sigma_{1,2})\ldots\tau(\sigma_{1,r_1}))\cdots\tau((\sigma_{t,1})\tau(\sigma_{t,2})\ldots\tau(\sigma_{t,r_t}))\).这表明 \(\sigma\) 的共轭类对应 \(n\) 的同一种划分.从而命题得证.

Proposition

若 \(\tau_1,\tau_2 \in S_n\) 有相同类型的环分解，则 \(\exist \sigma\in S_n,s.t.\sigma\tau_1\sigma^{-1}=\tau_2\).

Definition

设 \(H<G\)，\(S \subset G\)， (1) \(C_G(S)=\{g\in G:gs=sg,\forall s\in S\}=\displaystyle\bigcap_{s\in S}C_G(s)\) 称为 \(S\) 的中心化子.\(Z(G):=C_G(G)=\{g\in G:gx=xg,\forall x\in G\}=\ker(Ad:G\rightarrow S_G)\).

(2) 对于群 \(G\)，设 \(X\) 是 \(G\) 所有子群的集合，考虑 \(G\) 在 \(X\) 上的作用，\(Ad_g:X\rightarrow X:H\mapsto gHg^{-1}\).则 \(N_G(H):=Stab_G(H)=\{g\in G:gHg^{-1}=H\}\) 称为 \(H\) 的正规化子(Normalizer).

Remark

(1) \(C_G(H) < N_G(H)\). (2) \(H \triangleleft N_G(H)\).

Proposition

\(Z(G)\) 是阿贝尔群.

Lemma

\(g\in G\) 的共轭类是单点集 \(\{g\}\iff g\in Z(G)\).

Proof

\(Ad(G)(g)=\{xgx^{-1}:x\in G\}=\{g\}\iff xgx^{-1}=g,\forall x\in G\iff xg=gx,\forall x\in G\iff g\in Z(G)\).

Definition

我们称 \(G\) 在 \(X\) 上的作用是传递的(transitive)，如果 \(\forall x,y \in X,\exist g\in G,s.t.g\cdot x=y\iff X\) 是一个轨道 \(\iff X=G\cdot x,\forall x\in X\).

Proposition

若 \(G\) 在 \(X\) 上的作用是可迁的，则对于 \(\forall x\in X\)，有双射 \(\varphi:G/G_x\rightarrow X,gG_x\mapsto g\cdot x\)

Proof

我们先说明 \(\varphi\) 是良定义的.若 \(gG_x=g'G_x\)，则 \(\exist h\in G_x,s.t.g'=gh\)，从而 \(g'\cdot x=gh\cdot x=gx\).

下面证明 \(\varphi\) 是双射.由于 \(\ker\varphi=\{gG_x\in G/G_x:g\cdot x=e\cdot x=x\}=\{gG_x:g\in G_x\}=eG_x\)，从而 \(\varphi\) 是单射.

由于 \(G\) 在 \(X\) 上的作用可迁，故对 \(\forall y\in X,\exist g\in G,s.t.g\cdot x=y\)，从而 \(\varphi(gG_x)=y\)，这表明 \(\varphi\) 为满射.综上知 \(\varphi\) 为双射.

Collary

若 \(G\) 在 \(X\) 上的作用可迁，则 \(|X|=|G/G_x|=[G:G_x]\).

更一般地，\(|X|=\displaystyle\sum|G\cdot x|=\displaystyle\sum_{G-orbit}[G:G_x]\)。

Theorem

(1) 对于 \(x\in G\)，\(|Ad(G)\cdot x|=[G:C_G(x)]\).

(2) class function:若 \(g_1,\ldots,g_r\) 是非单点集的共轭类的代表元，则 \(|G|=|Z(G)|+\displaystyle\sum_{i=1}^{r}[G:C_G(g_i)]=|Z(G)|+\displaystyle\sum_{i=1}^{r}\dfrac{G}{C_G(g_i)}\).

Proof

(1) 考虑 \(G/C_G(x)\) 到 \(Ad(G)(x)\) 的双射. (2) \(|G|=\displaystyle\sum_{Ad(G)(x)的共轭类}[G:C_G(x)]=|Z(G)|+\displaystyle\sum_{i=1}^{r}[G:C_G(g_i)]\).

Definition

我们称群 \(G\) 是一个 \(p-\)群，如果 \(|G|=p^n,n \ge 0\)，\(p\) 为素数.

Proposition

若 \(G\) 是一个非平凡的 \(p-\)群，则 \(Z(G)\) 也是非平凡的.

Proof

\(|G|=|Z(G)|+\displaystyle\sum_{i=1}^{r}[G:C_G(g_i)]\)，而 \(1 \lt [G:C_G(g_i)] \mid |G|\)，故有 \(p \mid [G:C_G(g_i)]\).从而知 \(p \mid |Z(G)|\)，而 \(e\in Z(G),|Z(G)| \ge 1\)，这表明 \(|Z(G)|>1\)，\(Z(G)\) 是非平凡的.