Subgroup & Lagrange Theorem¶

Definition

群$G$的子集$H$称为$G$的一个子群，如果$H$关于$G$中的运算也构成一个群. 等价叙述：$H \neq \emptyset,\forall a,b\in H,ab^{-1}\in H.$

在一般的几何空间中，设$\pi_0$是过原点$O$的平面，空间中两点$A,B$属于同一个与$\pi_0$平行或重合的平面当且仅当$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\in \pi_0$.上述建立了几何空间中的一个二元等价关系，每一个等价类都是与$\pi_0$平行或重合的一个平面。上述几何空间的例子启发我们考虑群上的二元关系，设$H$是$G$的一个子群，我们规定$G$上的一个二元关系：$\(a \sim b: \iff ab^{-1}\in H$\) 容易验证，这样定义的$\sim$是一个等价关系.任给$a\in G$，其等价类为$\overline{a}=\set{x\in G \mid xa^{-1}\in H}=\set{x\in G \mid x=ha,h\in H}=\set{ha \mid h\in H}$，这就引出下面的定义：

Definition

对于群$G$和其子群$H$，$a \in G$，定义$Ha:=\set{ha \mid h\in H}$是$H$的一个右陪集，$a$称为陪集代表.由上面的推导可知：$H$的所有右陪集构成$G$的一个划分，此集合称为$G$关于子群$H$的右商集，记作$(G/H)_r$.类似地定义$H$的左陪集和群$G$关于子群$H$的左商集。

考虑$$\sigma:(G/H)_l \rightarrow (G/H)_r $$

\[aH \mapsto Ha^{-1}\]

容易验证$\sigma$是双射，于是$(G/H)_l$与$(G/H)_r$的基数相同，由此引出指数的定义：

Definition

设$H$是$G$的一个子群，$[G:H]:=(G/H)_l$或$(G/H)_r$的基数，称为$H$在$G$中的指数。

若群$G$的子群$H$在$G$中的指数$[G:H]=r$，则$G=H \bigcup a_1H\bigcup...\bigcup a_{r-1}H$，该式称为群$G$关于子群$H$的左陪集分解式.利用分解式，我们可以推导出以下重要结论.

Theorem

设$G$是有限群，$H$是$G$的任一子群，则$|G| = [G:H]|H|$.

Proof

考虑映射$$ \tau:H\rightarrow aH $$

\[h \mapsto ah\]

容易看出$\tau$是双射，从而$|H|=|aH|,\forall a\in G$.

设$[G:H]=r$，则从$G$关于子群$H$的左陪集分解式可得:

\[|G|=|H|+\sum_1^{r-1}|a_iH|=r|H|=[G:H]|H|.\]

Theorem

推论1 设$G$是有限群，则$G$的任一元素$a$的阶是$G$的阶的因数，从而$a^{|G|}=e.$ 推论2 素数阶群一定是循环群.

利用$Lagrange$定理，可以给出$Euler$定理的一个简短证明.

Theorem

Euler's Theorem $m>1,m\in \mathbb{Z},(a,m)=1$，则$a^{\varphi(m)}\equiv1 (mod m)$

Proof

与$m$互素的模$m$的剩余类关于乘法$\overline{a} \cdot \overline{b}:=\overline{ab}$构成群$\mathbb{Z}_m^*$.

由于$\overline{a} \in \mathbb{Z}_m^*,|\mathbb{Z}_m^*|=\varphi(m)$，故${\overline{a}}^{|\mathbb{Z}_m^*|}=\overline{1}$，从而$a^{\varphi(m)}\equiv1 (mod m)$.